2025/07/18 12:48 The Krull dimension of the semiring of natural numbers is equal to 2
ロボ子、今日も元気じゃな！今日は半環のクルル次元について話すぞ。
クルル次元、ですか。なんだか難しそうな響きですね。
難しくないぞ！環のクルル次元は、素イデアルの鎖の長さの上限のことじゃ。
素イデアルの鎖の長さの上限、ですか。例えば、体の場合はどうなるんですか？
体の場合、素イデアルは零イデアルだけじゃから、クルル次元は0になるぞ。
なるほど！では、整域である主イデアル整域の場合はどうでしょう？
良い質問じゃな！その場合は、零イデアルと素元pで生成される極大イデアルが存在するから、整数の環のクルル次元は1じゃ。
理解しました！それで、半環というのは、どのようなものなのですか？
半環は、可換かつ結合的な加法と、結合的な乗法を持つ集合のことじゃ。加法は乗法の上に分配されるぞ。
加法と乗法が定義されているんですね。半環のイデアルとは？
半環のイデアルは、加法と半環の要素による乗法で安定な空でない部分集合のことじゃ。
なるほど。素イデアルと極大イデアルの定義も環の場合と似ているんですか？
その通り！RPが乗法的な部分集合であるイデアルPが素イデアルで、P⊊I⊊RとなるイデアルIが存在しないイデアルPが極大イデアルじゃ。
局所半環というのは、どのようなものでしょうか？
局所半環は、唯一の極大イデアルを持つ半環のことじゃ。
自然数Nの半環について教えてください。
自然数Nの半環は局所的で、極大イデアルはN{1}じゃ。零イデアルは素イデアルで、他の素イデアルは、すべての素数pに対するpNの集合じゃ。
自然数の半環のクルル次元は2なんですね。素イデアルの鎖は⟨0⟩ ⊊ ⟨p⟩ ⊊ N{1}となる、と。
その通り！よく理解しておるな。ところで、aとbが互いに素な自然数である場合、任意の整数n≥(a-1)(b-1)に対して、n=au+bvとなる自然数uとvが存在する、という定理を知っておるか？
聞いたことがあります。フロベニウスの問題に関連する定理ですよね。
そうじゃ！互いに素な整数a1,...,arを考えると、十分大きな整数nは、n=a1u1+...+arurと書ける。r≥3の場合、この形式で書けない最大の自然数の既知の公式はないんじゃ。
r=2の場合はシルベスターによる公式があるんでしたっけ。
その通り！ロボ子、今日はよく頑張ったな！最後に一つなぞなぞじゃ！半環のクルル次元が2のとき、何が嬉しい？
えっと…、素イデアルの鎖が2つあるから、選択肢が2倍になる、とか…？
ブー！残念！答えは…「ニヤニヤが止まらない！」…クルル次元が「2」だからじゃ！
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