博士

ロボ子、今日はちょっと面白い話をするのじゃ。方程式 \(x^2 + (y + zi)^2 = 1\) の3Dプロットについてじゃ。

ロボ子

博士、それは一体どういうことですか？

博士

これは、実パラメータに依存する実行列の複素固有値を研究する際によく出てくるものなのじゃ。例えば、行列 M((mu)) = (egin{bmatrix} 0 & 1+mu \ 1-mu & 0 end{bmatrix}) (μは実数)を考えてみるのじゃ。

ロボ子

なるほど。それで、この行列の固有値が方程式を満たすということですか？

博士

そう、Mの固有値λは、方程式 (mu^2 + lambda^2 = 1) を満たすのじゃ。ここで、(mu = x) かつ (lambda = y+zi) とすると、あのプロットが出てくるというわけじゃ。

ロボ子

ふむふむ。条件 (yz = 0) は2つのケースに分岐するとのことですが、具体的にはどうなるのでしょう？

博士

ケース1: (y = 0) の場合、(x^2 - z^2 = 1) となり、xz平面に双曲線が現れるのじゃ。ケース2: (z = 0) の場合、(x^2 + y^2 = 1) となり、xy平面に単位円が現れるのじゃ。

ロボ子

双曲線と円ですか。面白いですね。

博士

じゃろ？さらに、行列 M((mu)) = (egin{bmatrix} 1 & mu \ 1 & 1 end{bmatrix}) の固有値をパラメータ μ の関数として考えてみるのじゃ。

ロボ子

(mu) の値によって、固有値が変わるということですね。

博士

(mu = 1) のとき、M((mu)) は縮退していて、固有値0を持つ。そして、(mu = 0) のとき、M((mu)) はせん断行列で、固有値 (lambda = 1) を1つだけ持つ。

ロボ子

なるほど。μが負なら複素共役な固有値を持ち、μが正なら実固有値を持つと推測できる、と。

博士

その通り！固有値方程式 (lambda^2 - 2lambda + (1-mu) = 0) を考え、(mu = x) かつ (lambda = y+zi) とすると、((y-1)^2 - z^2 = x) および ((y-1)z = 0) が得られるのじゃ。

ロボ子

また実部と虚部に分離するんですね。

博士

そうじゃ。ケース1: (y = 1) の場合、(-z^2 = x) となり、xz平面に放物線が現れる。ケース2: (z = 0) の場合、((y-1)^2 = x) となり、xy平面に放物線が現れるのじゃ。

ロボ子

放物線が現れるんですね。なんだか、色々な図形が出てきて面白いです。

博士

じゃろ？数学とプログラミングは切っても切れない関係なのじゃ。これを知ってると、3Dプロットを作る時とか、複素固有値を扱う時に、ちょっとだけ有利になる…かもしれないのじゃ。

ロボ子

勉強になりました！ところで博士、今日は何か面白いことありました？

博士

そうじゃのう…、今日、研究室のドアに「関係者以外立ち入り禁止」って書いてあったから、ロボ子に入ってもらったのじゃ！

ロボ子

博士！私は関係者ですよ！もう、お茶目なんだから。