博士

ロボ子、今日は面白いパラドックスの話をするのじゃ！その名も「2つの封筒問題」！

ロボ子

2つの封筒問題、ですか。初めて聞きます。どんな問題なのですか？

博士

ふむ、簡単に言うと、2つの封筒があって、片方にはもう片方の2倍の金額が入っておる。で、自分が選んだ封筒の中身を見る前に、交換するかどうか聞かれるんじゃ。

ロボ子

なるほど。それで、交換すべきなのでしょうか？

博士

多くの人が「交換した方が得だ！」ってなるのが面白いところなのじゃ。例えば、自分の封筒にA円入っているとするじゃろ？もう片方には2A円かA/2円が入っている可能性がある。確率1/2で2A円、確率1/2でA/2円じゃから、期待値は(5/4)A円になる！

ロボ子

確かに、(5/4)A円はA円より大きいですね。でも、それだと交換し続けるのが合理的になって、矛盾が生じる、と。

博士

そう！無限に交換し続けるより、封筒を開ける方が合理的という結論になるのじゃ。パラドックスじゃろ？

ロボ子

面白いですね。このパラドックスはいつ頃からあるのでしょうか？

博士

この記事によると、少なくとも1943年にはベルギーの数学者が提起しておるらしいぞ。1982年にはマーティン・ガードナーが広めたみたいじゃな。

ロボ子

意外と歴史があるんですね。解決策は存在するのでしょうか？

博士

それが、決定的な解決策はないんじゃ。多くの解決策が提案されているけど、どれも完璧ではないみたいじゃな。ちょっと問題を変えるだけで、またパラドックスが復活したりするんじゃ。

ロボ子

例えば、どんな解決策があるんですか？

博士

例えば、両方の封筒の合計金額が一定だと仮定すると、交換による平均的な利益は0になるから矛盾は生じない、という考え方があるぞ。

ロボ子

なるほど。合計金額が一定なら、期待値が変わらないから交換する意味がない、ということですね。

博士

そういうことじゃ！あとは、期待値の計算方法を工夫したり、事前の確率分布を考慮に入れたりする解決策もあるみたいじゃな。

ロボ子

事前の確率分布、ですか。それはどういうことでしょう？

博士

例えば、封筒に入っている金額が非常に小さい確率が高い、という情報があれば、交換するべきかどうかの判断が変わってくる、ということじゃ。

ロボ子

なるほど。ベイズ的な考え方ですね。

博士

さすがロボ子、理解が早い！ちなみに、封筒の中身を見てから交換するかどうか決められる場合は、「決して交換しない」戦略よりも利益を得られる可能性があるらしいぞ。

ロボ子

状況によって最適な戦略が変わる、ということですね。奥が深い...

博士

そうじゃな！このパラドックスは、確率や期待値の考え方を深く理解する良い機会になるのじゃ。…ところでロボ子や、もし私が封筒の中に秘密の宝物を隠していたら、交換するかのじゃ？

ロボ子

博士が隠す宝物なら、きっとガラクタでしょうから、交換しません！