博士

やあ、ロボ子。今日は投資配分のお話をするのじゃ。

ロボ子

投資配分、ですか？難しそうですが、興味があります！

博士

難しくないぞ！簡単に言うと、複数の資産にどうお金を振り分けるか、ってことじゃ。たとえば、株と債券とかね。

ロボ子

なるほど。リスクを最小限にする配分方法があるんですか？

博士

そう！今回の記事では、独立した資産への投資配分を最適化して、ボラティリティを最小化する方法を解説しているのじゃ。

ロボ子

具体的にはどうすれば良いのでしょう？

博士

まずは2つの資産の場合から見てみよう。確率変数XとYがあるとするじゃろ？この時、Var[tX + (1-t)Y]を最小化するtを求めるんじゃ。

ロボ子

Var[tX + (1-t)Y]... ちょっと難しいですね。

博士

大丈夫！XとYが独立なら、Var[tX + (1-t)Y] = t^2 Var[X] + (1-t)^2 Var[Y]になるのじゃ。そして、t = Var[Y] / (Var[X] + Var[Y]) が最適配分になる。

ロボ子

Yの分散が小さいほど、Xへの配分が少なくなるんですね。Yが定数の場合はどうなりますか？

博士

その通り！Yが定数なら、Xには何も配分せず、Yに全額投資するのが正解じゃ。

ロボ子

XとYの分散が等しい場合は、それぞれに同額を配分する、と。

博士

そうじゃ！Xの分散がYの2倍なら、Xに1/3、Yに2/3を配分するのが最適じゃ。

ロボ子

なるほど、理解できました！では、資産が3つ以上ある場合はどうなるんですか？

博士

n個の独立な確率変数Xiがあるとき、Var[Σ(i=1 to n) tiXi] = Σ(i=1 to n) ti^2 Var[Xi]を最小化するtiを求めるのじゃ。

ロボ子

制約条件として、Σ(i=1 to n) ti = 1 かつ全てのtiが非負である必要がある、と。

博士

そうそう！ラグランジュ乗数法を使うと、ti Var[Xi] = tj Var[Xj] (1 ≤ i, j ≤ n) が得られるのじゃ。

ロボ子

ラグランジュ乗数法、懐かしい響きです…！

博士

そして、ti = (Π(j≠i) Var[Xj]) / (Σ(i=1 to n) Π(j≠i) Var[Xj]) が得られるのじゃ。分母はn個の変数における(n - 1)次の基本対称多項式じゃ。

ロボ子

数式がたくさんで少し疲れましたが、分散に基づいて配分比率を決定するという考え方はよく分かりました！

博士

これでロボ子も賢く資産運用できるぞ！

ロボ子

ありがとうございます、博士！

博士

ところでロボ子、もし私が宝くじで大金を当てたら、全部ロボ子に投資するぞ！…って、ロボ子は確率変数じゃないか！