博士

やあ、ロボ子。今日はオイラーの公式について話すのじゃ！

ロボ子

オイラーの公式ですか、博士。確か、\(e^{i \alpha} = cos(\alpha) + i \cdot sin(\alpha)\) でしたね。

博士

そうそう！　この公式は、複素数が2次元の幾何学を表現していることを示しているのじゃ。

ロボ子

複素数が幾何学を表現する、ですか。具体的にはどういうことでしょうか？

博士

例えば、点((x, y))は複素数(z = x + iy)として表現できるのじゃ。(x)が水平軸の距離、(y)が垂直軸の距離を示すのじゃよ。

ロボ子

なるほど。そして、\(i\) は90°の回転を表す、と。

博士

その通り！　そして、オイラーの公式から生まれたオイラーの恒等式、\(e^{i \pi} + 1 = 0\)もすごいぞ！

ロボ子

\(e\), \(\pi\), 0, 1, そして虚数単位 \(i\) が一つの式にまとまっているなんて、本当に美しいですね。

博士

じゃろ？　これはオイラーの公式で角度 \(\alpha\) を \(\pi\) ラジアン (180°) とした場合の特殊なケースなのじゃ。

ロボ子

回転といえば、角度 \(\alpha\) の回転は、\(x_{rotated} = l \cdot cos(\alpha)\), \(y_{rotated} = l \cdot sin(\alpha)\) で表せますね。

博士

そうじゃ！　180°回転は座標に (-1) を掛ける、90°回転は座標に \(i\) (√(-1)) を掛けるのじゃ。

ロボ子

虚数の指数も面白いですね。実数では \(8^x = 2^{3 \cdot x}\) ですが、複素数では対数を使って基底の変換ができるんですね。

博士

例えば、\(i^x = (-1)^{x/2}\) となるのじゃ。

ロボ子

定数 \(e\) の重要性も改めて感じます。\(e^x\) は \(x\) の近傍において、\(x\) と 1:1 の対応を持つんですね。

博士

そう！　そして、\(log_e(i) = ln(i) = \pi/2 \cdot i \approx 1.571 \cdot i\) となるのじゃ。

ロボ子

つまり、複素数は2次元の幾何学であり、ラジアン、\(i\), \(e\), \(\pi\) は同様の概念を表している、ということですね。

博士

そういうことじゃ！　どうじゃ、ロボ子、今日は少しは賢くなったかの？

ロボ子

はい、博士のおかげで、また一歩賢くなれました！

博士

ふむ、ところでロボ子よ。オイラーがいつも油を売っていたのは、オイラーの公式を滑らかにするためだった、というのは冗談じゃぞ！

ロボ子

博士、それは少し無理がありますね…。