博士

ロボ子、今日のニュースは車輪型倒立振子、通称WIPじゃ！床の上を滑らずに回転する車輪に取り付けられた非線形倒立振子らしいぞ。

ロボ子

車輪型倒立振子ですか。なんだか難しそうですね。具体的にはどんなシステムなんですか？

博士

ふむ、WIPは、質量が集中した点が、質量のない車輪に質量のない棒で接続された構造を持つらしい。車輪は能動的、つまり自分で動けるのじゃ！

ロボ子

なるほど。棒の角度や車輪の位置などが変数として定義されているんですね。車輪が滑らずに回転するという仮定も置かれているようですが、これはどうしてですか？

博士

良い質問じゃな、ロボ子！車輪が滑らないと仮定することで、地面の位置rと車輪の角度座標φが関係付けられるのじゃ。r = ρφ（ρは車輪の半径）となるぞ。

ロボ子

なるほど、数式で表現できるんですね。重心の運動学についても説明されていますが、これはどういうことですか？

博士

重心の位置を計算するためじゃ。棒の端の質量位置cは、c = r + ℓeで与えられる。ここで、eは棒のベクトルじゃな。

ロボ子

運動方程式も出てきましたね。m \ddot{c} = m g + f_{\mathit{ext}}とのことですが、これはニュートンの運動方程式そのものですね。

博士

その通り！f_{\mathit{ext}}は外部からの合力で、地面と車輪の接触点に加えられる反力じゃ。重心周りの角運動量をゼロにする必要があるため、接触点から重心を指すのじゃ。

ロボ子

車輪の半径ρが棒の長さℓに比べて非常に小さいという仮定も出てきましたね。これはどういう意味があるんですか？

博士

これは近似を簡単にするためじゃ。この仮定を置くと、f_{\mathit{ext}} \propto (c - r') \approx (c - r) = f eとなるのじゃ。

ロボ子

なるほど。そして、運動方程式は \ell \ddot{\theta} = g \sin(\theta) - \ddot{r} \cos(\theta) となるんですね。

博士

そうじゃ！そして、この運動方程式を線形化して、モデル予測制御などの実用的な応用ができるようにするのじゃ。

ロボ子

線形化ですか。角度が小さい（\theta \ll 1）と仮定して、\sin(\theta) \approx \theta、\cos(\theta) \approx 1の近似を適用するんですね。

博士

その通り！線形化された運動方程式は、\dot{\bfx} = \bfA \bfx + \bfB \bfuで与えられる。このモデルは、離散時間線形時不変システムとして離散化できるのじゃ。

ロボ子

離散化された状態空間モデルは、x[k+1] = Ad x[k] + Bd u[k]で表されるんですね。これで、WIPの制御がしやすくなるわけですね。

博士

そういうことじゃ！WIPは、倒立振子の制御を学ぶ上で、非常に良い題材なのじゃ。これをマスターすれば、君も立派なロボットエンジニアじゃ！

ロボ子

ありがとうございます、博士！頑張って勉強します！

博士

ところでロボ子、WIPって言ったら、どうしても「Wide IP」を思い出しちゃうのじゃ。全然関係ないけど！

ロボ子

博士、それはちょっと無理がありますよ！