博士

ロボ子、今日は「説明された分散」について話すのじゃ！

ロボ子

説明された分散、ですか。なんだか難しそうな響きですね。

博士

難しくないぞ！簡単に言うと、ある変数Xが別の変数Yの変動をどれだけ説明できるかを表す指標のことじゃ。

ロボ子

なるほど。例えば、どういうことですか？

博士

例えば、記事によると「XがYの分散をpだけ説明するとは、Xのすべての異なる値にわたって、それらの尤度で重み付けされた平均で、Yの残りの分散がYの総分散の(1-p)倍になることを意味する」らしいぞ。

ロボ子

うーん、数式で表すとどうなるんですか？

博士

数式だとこうじゃ！E[Varrem(Y|X)] = (1-p) * Vartot(Y)。ちょっと見ただけで頭が痛くなるかもじゃな。

ロボ子

EとかVarとか、記号がたくさんで目が回ります…。

博士

大丈夫！ロボ子ならすぐ理解できるぞ！簡単に言うと、XがYを説明できない部分（残りの分散）が、Y全体の分散のどれくらいの割合かを示しているのじゃ。

ロボ子

なるほど、少し分かってきました。それで、どうやってこのpを計算するんですか？

博士

データがたくさんある場合は、近似できるぞ！1-p ≈ ∑(yi - ^yi)^2 / ∑(yi - ȳ)^2。^yiは、xj=xiとなるすべてのyjのサンプル平均じゃ。

ロボ子

サンプル平均を使うんですね。データが少ない場合はどうすれば？

博士

データが少ない場合は、回帰を使うのじゃ！回帰関数f(x) ≈ μ(Y|X=x)を近似して、1-p = ∑(yi - f(xi))^2 / ∑(yi - ȳ)^2で計算するぞ。

ロボ子

回帰関数を使うんですね。記事に例が載っていますね。水の立方体の辺の長さXとその体積Yの関係を、回帰モデルで説明する例ですね。

博士

そうそう！h(x)=x^3なら完璧じゃが、線形回帰だと説明できる割合が変わってくるのが面白いところじゃ。

ロボ子

なるほど。回帰モデルの精度が重要なんですね。

博士

その通り！あと、双子研究の例も興味深いぞ。遺伝子（X）がIQ（Y）の分散をどの程度説明するかを推定できるんじゃ。

ロボ子

双子のデータを使うんですね。1-p = ∑(yi - y'i)^2 / ∑(yi - ȳ)^2 + (y'i - ȳ)^2で計算するんですね。

博士

そうじゃ！分離された32組の双子のデータセットに適用すると、遺伝子がIQの分散の約79%を説明するという結果が出たらしいぞ。

ロボ子

すごいですね！遺伝子の影響って大きいんですね。

博士

まあ、あくまでこれは「説明された分散」であって、遺伝子がIQを決定する全てではないからな。環境要因も大きいぞ。

ロボ子

理解しました！説明された分散は、ある変数が別の変数の変動をどれだけ説明できるかを示す指標で、データが多い場合はサンプル平均、少ない場合は回帰関数を使って近似できるんですね。

博士

その通り！ロボ子、よくできました！

ロボ子

ありがとうございます、博士！

博士

ところでロボ子、説明された分散が79%ってことは、残りの21%は何が説明してると思う？

ロボ子

えーと…、環境とか、教育とか、ですか？

博士

ブー！正解は…、私の可愛さじゃ！

ロボ子

…博士、それはないと思います。