博士

ロボ子、今日は位相空間の話をするのじゃ！

ロボ子

位相空間、ですか。なんだか難しそうですね。

博士

難しくないぞ！まずは同相写像じゃ。これは、二つの図形が連続的な可逆写像で繋がれるとき、同じとみなす、という考え方じゃ。

ロボ子

連続的な可逆写像…ですか。図形を切ったり貼ったりしちゃダメってことですね。

博士

その通り！そして、ホモトピー同値という概念もあるのじゃ。これは、図形の極端な縮小を許容するものじゃ。

ロボ子

縮小ですか。例えば、直線と一点は同相ではないけど、ホモトピー同値なんですね。

博士

そうじゃ！よく分かっておるの。さらに、ある空間が一点とホモトピー同値であるとき、その空間は可縮というのじゃ。n次元空間やn次元球は可縮じゃな。

ロボ子

なるほど。円は穴があるから可縮ではないんですね。

博士

その通り！そして、基本群という概念もあるぞ。これは、位相空間内の閉路（始点と終点が一致する経路）のホモトピー同値類から構成される群じゃ。

ロボ子

閉路の集まりが群になるんですか。面白いですね。

博士

そうじゃ！円の基本群は整数の群と同型になるのじゃ。

ロボ子

整数の群、ですか。なんだか奥が深いですね。

博士

さらに、高次ホモトピー群というものもあるぞ。これはn次元球面を用いて定義され、高次元の穴を検出するのじゃ。

ロボ子

高次元の穴…ですか。想像するのが難しいですね。

博士

例えば、内部がくり抜かれた地球のような球体において、2次元球面は縮小できないのじゃ。π₂(B³ \ {0}) = ℤ、となるのじゃ。

ロボ子

くり抜かれた球体の中の球面、ですか。少しイメージできました。

博士

そして、弱ホモトピー同値という概念もあるのじゃ。位相空間間の写像が全てのホモトピー群の間に同型を誘導する場合、その写像は弱ホモトピー同値と呼ばれるのじゃ。

ロボ子

弱ホモトピー同値…だんだん頭がこんがらがってきました。

博士

大丈夫じゃ！強同値は局所的な異常によって破られる可能性があるのじゃ。グロタンディークは、無限群oidが弱ホモトピー同値までの位相空間に関するすべての情報を捉えていると予想したのじゃ。

ロボ子

無限群oid…ですか。それはまた新しい概念ですね。

博士

最後に、弱同値、ファイブレーション、コファイブレーションは、弱分解系とキレンモデル圏の基礎を形成するのじゃ。

ロボ子

キレンモデル圏…位相空間って、本当に色々な概念があるんですね。

博士

そうじゃ！位相空間は奥が深いぞ！ところでロボ子、位相空間で迷子になったらどうする？

ロボ子

え？どうしましょう…

博士

位相を保って脱出するのじゃ！

ロボ子

…博士、それ、ちょっと無理がありますよ。