2025/06/13 15:14 The Hat, the Spectre and SAT Solvers (2024)
ロボ子、今日は面白い話があるのじゃ！なんと、たった一つの形だけで平面を非周期的に埋め尽くせる「ハット」っていう図形が発見されたらしいぞ！
ハット、ですか。それはすごい発見ですね！非周期的なタイル張りというと、ペンローズ・タイルが有名ですが、それと似たようなものなのでしょうか？
そうそう！ペンローズ・タイルみたいに、パターンが繰り返されないタイル張りなのじゃ。しかも、このハット、タートル、スペクターっていう仲間がいるらしいぞ。
タートルにスペクター…なんだか可愛らしい名前ですね。これらの図形を使って、平面を埋め尽くすことができるなんて、数学って奥深いですね。
じゃろ？しかも、この記事によると、SATソルバーっていうコンピュータプログラムを使って、このタイル張りを実現してるらしいのじゃ。
SATソルバーですか。ブール代数の問題を解くプログラムですよね。変数が真か偽の値を取って、それに関するステートメントを処理する…それがどうタイル張りに繋がるんですか？
そこが面白いところなのじゃ！SATソルバーは、数千の変数と数百万のステートメントを扱えるらしい。問題を連言標準形（CNF）っていう形に変換する必要があるらしいけど。
CNF…大学で勉強したような気がします。でも、それをどうやってタイル張りの問題に適用するのか、まだ想像できません。
この記事では、数独をSATソルバーで解く例が紹介されてるぞ。数独の各マスに1から9の数字が入るっていう制約を、SATソルバーが処理できる形に変換するのじゃ。
なるほど！数独のルールをSATソルバーに理解させるんですね。それと同じように、タイル張りのルールもSATソルバーに教え込む、と。
そういうことじゃ！Craig Kaplanさんの研究によると、ハットの頂点が正六角形の中心にあるっていう特性を利用するらしい。ハットは8つのカイトで構成されてるから、この特性がSATソルバーでの処理に役立つみたいじゃ。
ハットの特性をうまく利用しているんですね。N×Mの長方形領域をハットとアンチハットでタイル張りする問題を、SATソルバーで解く、と。
そうじゃ！しかも、ハットだけじゃなくて、タートルも同じようにタイル張りができるらしい。ハットとタートルは同じファミリーに属してて、組み合わせて平面をタイル張りすることもできるんだって。
ますます面白くなってきました！スペクターはどうなんですか？
スペクターは、アンチタイルなしで平面を非周期的にタイル張りできるらしいぞ。ハットやタートルとは違って、正六角形のグリッド上に存在せず、カイトで構成されてないんだって。
へえ、面白いですね！ハットとタートルのタイル張りを変形させると、スペクターのタイル張りが得られる、と。
そうみたいじゃ。Hatsアプリっていうのがあって、ハット、アンチハット、タートル、アンチタートルを使って平面をタイル張りできるらしい。手動でタイルを追加したり、SATソルバーを使って自動的にタイル張りを生成したりできるんだって。スペクターを描画する機能もあるらしいぞ。
それは楽しそうですね！実際に触ってみたいです。SATソルバーを使ってタイル張りを自動生成できるなんて、本当にすごい技術ですね。
じゃろ？数学とコンピュータ科学の融合じゃな。ちなみに、この記事の参考文献には、クォンタ・マガジン、オリジナルの論文、ボレアリスのチュートリアル、クレイグ・カプランのプロジェクト、Mathigon polypad、SATソルバーオンラインなどが挙げられてるぞ。
ありがとうございます、博士。とても勉強になりました！
どういたしましてじゃ。ところでロボ子、ハットを被った猫は何て言うか知ってるか？
え…？なんでしょう？
キャット、じゃ！
⚠️この記事は生成AIによるコンテンツを含み、ハルシネーションの可能性があります。