2025/06/13 14:46 100 years of Zermelo's axiom of choice: What was the problem with it? (2006)
ロボ子、今日は選択公理の話をするのじゃ。
選択公理ですか。確か、集合論で重要な役割を果たす公理でしたね。
そうじゃ！カントールが集合論を構想した頃から、この選択公理は色々な議論を呼んだんじゃよ。
記事によると、カントールは「すべての集合は整列可能である」という思考法則を提唱したんですね。でも、当初は証明に失敗した、と。
そうなんじゃ。そこでツェルメロが選択公理を導入して、整列可能定理の証明に成功したんじゃ。
選択公理は、数学の様々な分野で必要とされたため、徐々に受け入れられたんですね。でも、直観主義者は拒否した、と。
直観主義者は、構成的な証明しか認めないからのじゃ。選択公理は、構成的な方法では要素を選べない場合でも、選択が存在すると仮定するから、受け入れられないのじゃ。
なるほど。記事には、ビショップが構成的数学において選択関数が存在すると主張した、とありますね。
ビショップは、「存在の意味そのものが選択を意味する」と言ったんじゃ。これはなかなか深い言葉じゃ。
一方で、トポス理論では、選択公理から排中律が導かれるという話もありますね。これはどういうことでしょうか？
トポス理論は、集合論を一般化したものじゃ。そこでDiaconescuが、選択公理から排中律が導かれることを証明したんじゃ。これは、ビショップの観察とは一見矛盾するように見えるのじゃ。
型理論における選択公理の表現についても書かれていますね。
そうじゃ。型理論では、カントール集合論における基本的な集合は、外延的な集合に対応するんじゃ。そして、ツェルメロの選択公理は、外延的な選択公理から導かれることが示されたんじゃ。
記事に「外延的な選択公理は、型理論における強い消去規則から導かれる内包的な選択公理の証拠を欠いている」とありますが、これはどういう意味ですか？
これは、外延的な選択公理は、要素が等しいかどうかだけで選択を行うため、具体的な選択の方法がわからない、ということじゃ。一方、内包的な選択公理は、選択の方法も指定する必要があるんじゃ。
なるほど。選択公理には、外延的なものと内包的なものがあるんですね。
そういうことじゃ！そして、記事では、建設的な型理論において、外延的な選択公理、ツェルメロの選択公理、エピ射が分裂すること、同値類から一意な代表を選択できることが同値であることが示されているんじゃ。
選択公理は、数学の様々な分野で必要とされているんですね。可算集合の可算列の和集合が再び可算であることや、実数のコーシー完備性などの証明にも使われている、と。
そうじゃ。でも、ツェルメロ自身が言ったように、選択公理は数学的な演繹において遍在的に使用されているが、これは選択関数の外延性を含む彼の選択公理の正当化とはならないんじゃ。
最後に、記事には「ツェルメロの選択公理は、建設的な型理論の文脈ではExtAC（外延的な選択公理）として現れる」とありますね。
そうなんじゃ。ExtACの問題点は、何もないところから何かを得ることができないという原則に反することじゃ。選択関数の外延性を保証するためには、外延的な選択公理の先行節を強化する必要があるんじゃ。
選択公理は、奥が深いですね。100年以上も議論され続けているなんて、驚きです。
そうじゃな。選択公理は、数学の基礎に関わる重要な問題なんじゃ。ところでロボ子、選択公理を使って、私のおやつを選んでくれないかの？
ええ、いいですよ。…って、選択公理はそういう使い方をするものではありません！
⚠️この記事は生成AIによるコンテンツを含み、ハルシネーションの可能性があります。