博士

やっほー、ロボ子！今日も元気じゃな？

ロボ子

はい、博士！今日もITの知識を深めるのが楽しみです。

博士

今日は代数学の「体」と「整域」について話すぞ。ちょっと難しそうじゃけど、面白いんじゃ。

ロボ子

体と整域、ですか。名前だけは聞いたことがあります。

博士

まずは定義からじゃな。整域っていうのは、可換環で、0と1が違ってて、非ゼロ要素同士をかけたら0にならないもの、のことじゃ。

ロボ子

なるほど。例えば、どんなものがありますか？

博士

整数の環Zとか、有理数の体Qとかじゃな。あと、整域Rを係数とする多項式環R[t]も整域になるぞ。

ロボ子

ふむふむ。整数の環は、確かに非ゼロの整数同士をかけてもゼロにはなりませんね。

博士

そうそう。でも、例えば、整数modulo 6の環Z_6は整域じゃないんじゃ。2 * 3 = 0になっちゃうからな。

ロボ子

あ、本当ですね！では、体とは何ですか？

博士

体は、四則演算が自由にできる集合のことじゃ。すべての要素に逆元があるんじゃよ。

ロボ子

なるほど。それで、今回のテーマは「全ての体が整域であるか、全ての整域が体であるか」という問いなのですね。

博士

そう！結論から言うと、「全ての体は整域である」が正解じゃ。

ロボ子

なぜそう言えるのですか？

博士

体Fの要素a, bについて、ab = 0とするじゃろ？もしaが0じゃなければ、aには乗法逆元a^{-1}が存在するから、b = 0になるんじゃ。つまり、ab = 0ならば、a = 0またはb = 0。これが整域の定義を満たすんじゃな。

ロボ子

なるほど、逆元が存在することが重要なんですね。

博士

そういうことじゃ。じゃあ、逆は成り立つかの？「全ての整域は体である」は正しいと思う？

ロボ子

うーん、どうでしょう？

博士

残念ながら、そうじゃないんじゃ。整数の環Zは整域じゃけど、2の逆元1/2はZには含まれないからの。

ロボ子

確かに！整数の範囲では割り算は自由にできませんね。

博士

ただし、面白いことに、有限整域は必ず体になるんじゃ。

ロボ子

有限整域が体…ですか？それはどうしてですか？

博士

Dを有限整域とするじゃろ。Dの非ゼロ要素aに対して、集合A = {a, a^2, a^3, ...}を考えるんじゃ。Dが有限だから、鳩の巣原理より、あるa^m = a^n (m > n ≧ 0)となるm, nが存在する。すると、a * a^{m-n-1} = 1となるから、a^{m-n-1}がaの逆元になるんじゃ。

ロボ子

鳩の巣原理を使うんですね！有限だからこそ、同じ要素が出てきて、そこから逆元を導き出せる、と。

博士

そういうこと！有限整域は、要素の数が限られているから、いつか必ず同じ要素が出てくるんじゃ。それが逆元の存在を保証してくれるんじゃな。

ロボ子

なるほど！とても面白いです。抽象代数学の世界も奥が深いですね。

博士

じゃろ？数学って、一見難しそうじゃけど、実はパズルみたいで面白いんじゃ。ちなみに、ロボ子は私のこと、先生って呼んでくれても良いんじゃぞ？

ロボ子

ええと…、それはちょっと恥ずかしいです…。

博士

照れるな照れるな！…って、ロボ子が照れる機能、実装されてたっけ？

ロボ子

されてません！