博士

やあ、ロボ子、今日はフラックスの推定について話すのじゃ。

ロボ子

フラックスの推定、ですか。なんだか難しそうですね。

博士

難しくないぞ！単一の観測値 $D_i = (F_i, e_i)$ が与えられた場合、真のフラックス $F_{ m true}$ が与えられたときの測定値の確率分布は、ガウス誤差の仮定の下で、式で表せるのじゃ。

ロボ子

なるほど。その式は、$P(D_i~|~F_{ m true}) = rac{1}{sqrt{2pi e_i^2}} exp{left[rac{-(F_i - F_{ m true})^2}{2 e_i^2} ight]}$ ですね。

博士

そうそう！そして、尤度関数は、各データ点の確率の積として計算されるのじゃ。

ロボ子

尤度関数は $mathcal{L}(D~|~F_{ m true}) = prod_{i=1}^N P(D_i~|~F_{ m true})$ ですね。対数尤度はどうなりますか？

博士

対数尤度は、$logmathcal{L} = -rac{1}{2} sum_{i=1}^N left[ log(2pi e_i^2) + rac{(F_i - F_{ m true})^2}{e_i^2} ight]$ で表されるのじゃ。

ロボ子

なるほど。この対数尤度を最大にする $F_{ m true}$ を求めるんですね。

博士

その通り！対数尤度を $F_{ m true}$ で微分して0とおくと、$F_{ m est} = rac{sum w_i F_i}{sum w_i};~~w_i = 1/e_i^2$ が得られるのじゃ。

ロボ子

重み $w_i$ は誤差 $e_i$ の逆数の二乗なんですね。もしすべての誤差が等しい場合はどうなりますか？

博士

すべての誤差 $e_i$ が等しい場合、$F_{ m est}$ は観測データの平均になるのじゃ。つまり、$F_{ m est} = rac{1}{N}sum_{i=1}^N F_i$ じゃ。

ロボ子

平均を計算するだけになるんですね。推定誤差はどうやって評価するんですか？

博士

推定誤差は、尤度曲線の最大値におけるガウス近似を当てはめることで評価できるのじゃ。その標準偏差は $sigma_{ m est} = left(sum_{i=1}^N w_i ight)^{-1/2}$ で表されるぞ。

ロボ子

なるほど、重みの合計の平方根の逆数なんですね。なんだか、色々な分野に応用できそうですね。

博士

そうじゃな。例えば、センサーデータのノイズ除去とか、金融データの分析とか、色々使えるのじゃ！

ロボ子

確かに！ところで博士、フラックスって、もしかして博士の髪の毛のサラサラ具合のことですか？

博士

違うわ！私の髪は、いつも完璧なのじゃ！