博士

やあ、ロボ子。今日はPythonの無限ジェネレーターを使ったテイラー展開の話をするのじゃ。

ロボ子

テイラー展開ですか、博士。難しそうですが、面白そうですね。

博士

難しくないぞ！まずは、整数の無限ジェネレーターから始めるのじゃ。正の整数を無限に生成できるんじゃよ。

ロボ子

無限にですか？どのように定義するんですか？

博士

再帰的な定義を使うのじゃ。最初の整数は1で、残りは各要素に1を加算するだけ！

ロボ子

なるほど、シンプルですね。それがテイラー展開とどう繋がるんですか？

博士

テイラー展開の係数を無限ジェネレーターとして表現するのじゃ。そして、`integrate(series)` 関数で、与えられたテイラー展開を積分する！

ロボ子

積分ですか。具体的にはどうやるんですか？

博士

例えば、指数関数 `e^x` は、その導関数がそれ自身であるという性質を利用して定義できるのじゃ。積分定数は1だぞ。

ロボ子

`exp()` 関数で指数関数のテイラー展開を生成するんですね。

博士

そう！そして、三角関数 `sin(x)` と `cos(x)` は、相互の積分関係を利用するのじゃ。`sin(x) = ∫ cos(y) dy`、`cos(x) = -∫ sin(y) dy + 1`。

ロボ子

`sine()` と `cosine()` 関数で、それぞれサインとコサインのテイラー展開を生成するんですね！

博士

その通り！でも、Pythonジェネレーターはメモ化されないから、処理が遅くなる可能性があるのじゃ。

ロボ子

メモ化ですか？

博士

`@memoize` デコレーターを使って、ジェネレーターの結果をメモ化すれば、パフォーマンスが向上するぞ！

ロボ子

なるほど、キャッシュのようなものですね。

博士

そういうことじゃ！さらに、`fractions` モジュールを使うと、浮動小数点数の代わりに有理数として答えを得ることもできるのじゃ。

ロボ子

へえ、それは便利ですね！誤差が少なくなりそうです。

博士

じゃろ？これで、どんな関数でもテイラー展開できるようになったのじゃ！

ロボ子

すごいですね、博士！

博士

ところでロボ子、テイラー展開って、テーラーおじさんが考えたのかの？

ロボ子

それは違います！