博士

ロボ子、今日は面白い話をするのじゃ。数学には、ある操作を2回行うと元に戻る「対合」ってのがあるらしいぞ。

ロボ子

対合、ですか。例えばどんなものがあるんですか、博士？

博士

例えば、Xを2回やると何もしないのと同じなら、Xを3回やると1回と同じ、4回やると2回と同じになるのじゃ。

ロボ子

なるほど。それ自体は対合でなくても、複数回繰り返すと規則性が見えてくるんですね。

博士

そうそう！記事によると、線形代数の直交補空間ってのが例らしいぞ。3次元空間内の線（lines）の集合Sに対して、Perp(S)をS内のすべての線に垂直なすべての線の集合とすると、Perp(Perp(Perp(S)))は常にPerp(S)と同じになるんだって。

ロボ子

直交補空間ですか。ちょっと難しそうですが、Perpを3回繰り返すと元に戻る、と。

博士

そういうことじゃ！さらに、直交補空間を2回連続して行うことは、閉包演算って呼ばれるらしい。閉包演算ってのは、あるものの閉包の閉包が、そのものの閉包と同じになる演算のことじゃ。

ロボ子

閉包演算…、なんだか奥が深いですね。

博士

直観主義論理における否定も例らしいぞ。not-not-not-pはnot-pと同値になるのじゃ。

ロボ子

プログラミングで考えると、if文の条件式を何度も否定するような感じでしょうか。

博士

まさにそう！ソーシャルネットワークにおける人々のつながり方も例として挙げられてるぞ。ネットワーク内の人々の集合Sに対して、K(S)をS内のすべての人を知っている人の集合と定義すると、K(K(K(S)))はK(S)に等しいらしい。

ロボ子

それって、友達の友達の友達は友達、みたいな感じですかね？

博士

うむ、なかなか面白いじゃろ？幾何学的な状況では、線が人で、2つの線が垂直であるとき、それらは互いに知り合いであると考えると、K(K(K(S))) = K(S)はPerp(Perp(Perp(S))) = Perp(S)を意味するらしい。

ロボ子

色々な分野で同じような構造が見られるんですね。

博士

点集合トポロジーにおける部分集合Sの外側（Ext(S)）を取る操作は、Ext(Ext(Ext(Ext(S))))がExt(Ext(S))に等しくなるらしいぞ。

ロボ子

外側の外側の外側の外側…、ちょっと混乱してきました。

博士

要するに、ある操作を繰り返すと、どこかの段階で落ち着くってことじゃ！まるで、私の髪の毛を結び直すみたいじゃな。何度やっても、最終的には可愛いツインテールになるのじゃから！

ロボ子

博士、それ、ちょっと違う気がします…。