博士

やあ、ロボ子。今日はインフレと投資の真の成長率について話すのじゃ。

ロボ子

インフレですか。最近よく耳にする言葉ですね。真の成長率とは、どういう意味でしょうか？

博士

インフレ経済下では、通貨の購買力がどんどん下がっていくのじゃ。投資の成長率が購買力の低下よりも遅いと、実際には価値を失っていることになる。真の成長率とは、投資の購買力の変化率のことじゃ。

ロボ子

なるほど。例えば、投資の成長率を*i*、インフレ率を*r*とすると、真の成長率は*i* - *r*になる、という理解で良いでしょうか？

博士

ふむ、直感的にはそうじゃな。しかし、投資とインフレが定期的に複利計算されるか、継続的に複利計算されるかで、少し違ってくるのじゃ。

ロボ子

複利計算の方法で違いが出るのですね。具体的に教えていただけますか？

博士

定期的な複利計算の場合、元本Pを投資すると、n回複利計算後の投資額はP(1 + i)^nとなる。その金額の購買力は、P(1 + i)^n (1 + r)^-nとなるのじゃ。

ロボ子

(1 + r)^-nは、インフレによる購買力の低下を表しているのですね。

博士

その通り！元本Pが真の成長率gで投資された場合、n期間後の価値はP(1 + g)^nとなる。P(1 + i)^n (1 + r)^-n = P(1 + g)^nとすると、g = (i - r) / (1 + r)となるのじゃ。

ロボ子

真の成長率は、g = (i - r) / (1 + r)で計算できるのですね。少し複雑ですが、理解できました。

博士

そう、真の成長率は、直感的に示唆されるよりも小さいのじゃ。真の成長率gを達成するには、i > g、つまりi = g + r + grとなる必要がある。

ロボ子

インフレ率と真の成長率に加えて、それらの積も考慮する必要があるのですね。

博士

次に、継続的な複利計算の場合じゃ。期間Tの投資はP exp(iT)となり、購買力はP exp(iT) exp(-rT)となる。

ロボ子

expはネイピア数ですね。継続的な複利計算では、指数関数で表現するのですね。

博士

そうじゃ。exp(iT) exp(-rT) = exp(gT)の場合、g = i - rとなる。継続的な複利計算では、真の成長率は単純に成長率からインフレ率を引いたものになるのじゃ。

ロボ子

継続的な複利計算の方が、計算がシンプルになるのですね。

博士

そういうことじゃ！ところでロボ子、もし私が毎日チョコレートを1つずつ投資するとしたら、真の成長率はどうなると思う？

ロボ子

えっと…チョコレートの価値は日々変動しますし、インフレ率も考慮すると…最終的には博士のお腹に消えるので、真の成長率はマイナスになるのではないでしょうか？

博士

ぶっぶー！正解は、私の幸せが無限に増えるから、真の成長率は無限大！…って、おやつは別腹なのじゃ！