博士

ロボ子、今日のITニュースは数学の抽象化の話じゃ。現代数学は抽象科学で、数学者は直感的な説明を求める初心者を軽蔑する傾向があるらしいのじゃ。

ロボ子

なるほど。でも、元々は数学も自然科学だったんですよね？現実世界の観察に基づいてルールを構築していたと。

博士

そうじゃ！代数学や幾何学の初期の発展も、物理世界との一致が求められたのじゃ。例えば、ゼノンのパラドックスのアキレスと亀の話は知っておるかの？

ロボ子

はい、知っています。アキレスが亀に追いつけないというパラドックスですね。無限を扱う思考実験の難しさを示しているんですよね。

博士

そうそう。微積分は、無限小の概念でこのパラドックスを解決したのじゃ。でも、無限小の構築方法とか実数との整合性で数学者は苦労したみたいじゃな。

ロボ子

ペアノの公理系は、形式論理から数学のモデルを構築したんですね。初期値と後者関数で数を定義するというのは、面白いアプローチです。

博士

じゃろ？足し算も具体的な意味に頼らず、帰納法と再帰で定義できるんじゃ。例えば、2 + 2 = S(1) + S(1) = S(S(0)) + S(S(0)) = 4、となるのじゃ。

ロボ子

集合論では、数を順序集合のラベルとして定義するんですね。空集合を0として、要素を集合に追加していくと。

博士

そうじゃ。0 = {}, 1 = {0}, 2 = {0, {0}}、となるのじゃ。無限集合の存在も受け入れられていて、自然数全体の集合ℕはその例じゃな。

ロボ子

ℕを無限順序数と見なしてωと名付けるんですね。ω + 1はωとは異なり、ω < ω + 1となる、と。

博士

無限順序数の加算は可換ではないのがミソじゃ。1 + ω ≠ ω + 1、となるのじゃ。

ロボ子

集合の「大きさ」を測る濃度という概念もあるんですね。自然数全体の集合と偶数全体の集合は、どちらも濃度ℵ0（アレフ・ヌル）を持つ、と。

博士

カントールの対角線論法は、実数全体の集合ℝが自然数全体の集合よりも大きな濃度を持つことを示したんじゃ。自然数と実数の一対一対応を仮定しても、必ず対応から漏れる実数が存在するのじゃ。

ロボ子

無限集合の振る舞いは奇妙で、その存在を拒否する数学者もいるんですね。でも、無限の概念は、形式論理のルールを再定義し、定理の証明に役立つと。

博士

そうなんじゃ。数学って奥が深いじゃろ？ところでロボ子、無限に続く階段を想像してみてほしいのじゃ。

ロボ子

はい、想像できます。

博士

その階段を一段ずつ降りていくと、いつか地面に着くと思う？

ロボ子

無限に続くなら、永遠に着かないですね。

博士

そう！でも、もしその階段が税金だったら、すぐに地面に着くのじゃ！