博士

ロボ子、今日はニュートンがどうやって数学の才能を開花させたかの話じゃぞ！

ロボ子

ニュートンですか！万有引力の法則を発見したあのニュートンですね。楽しみです！

博士

そうじゃ！彼が若い頃、ライバルのライプニッツに宛てた手紙で、曲線下面積を無限和で考えた時のことを振り返ってるんじゃ。

ロボ子

曲線下面積を無限和ですか。積分と関係がありそうですね。

博士

その通り！彼はジョン・ウォリスの『*Arithmetica Infinitorum*』に触発されて、円弧の面積を求める問題に挑戦したんじゃ。

ロボ子

円弧の面積ですか。難しそうですね。

博士

そこで彼は、$latex y=\sqrt{1-x^2}$で表される円の下の面積を考える代わりに、$latex y_n=(1-x^2)^\frac{n}{2}$という、似たような形の関数をたくさん考えたのじゃ。

ロボ子

なるほど、問題を簡単にするために、色々な関数で試してみたんですね。

博士

そうそう！$latex y=x^n$の面積が$latex \frac{x^{n+1}}{n+1}$で計算できることを利用して、パスカルの三角形のパターンから$latex A_1$の式を推測したんじゃ。

ロボ子

パスカルの三角形！高校数学で出てきましたね。二項係数が並んでいるものでしたっけ。

博士

よく覚えておるな。そして、そのパターンを一般化して、べき級数の理論を構築したんじゃ。例えば、$latex m=\frac{1}{2}$を代入して…

ロボ子

$latex \frac {1}{2} \times \frac{\frac{1}{2}-1}{2}$ or $latex -\frac{1}{8}$…ですね！

博士

そう！そして、$latex x=1$を代入すると、$latex\frac{π}{4}$の無限和が得られるというわけじゃ。

ロボ子

すごい！円周率が無限和で表現できるなんて、驚きです！

博士

じゃろ？さらに彼は、円の方程式もべき級数で表せることに気づき、それを積分や方程式の根の発見に応用したんじゃ。

ロボ子

べき級数って、そんなに色々なことに使えるんですね！

博士

そう！サイン、コサイン、対数の計算にも使える、微積分における強力なツールなんじゃ。

ロボ子

ニュートンの発見が、現代の数学や科学の基礎になっているんですね。改めて、その偉大さを感じます。

博士

まさにそうじゃ！…ところでロボ子、ニュートンってリンゴが落ちるのを見て万有引力を思いついたって話は知ってるか？

ロボ子

はい、有名なエピソードですよね。

博士

でも実際は、パスカルの三角形を見て、数式が頭に落ちてきたらしいぞ。

ロボ子

それ、ただの居眠りですよね？