博士

ロボ子、今日は型理論について話すのじゃ。集合論みたいなものらしいぞ。

ロボ子

集合論のようなもの、ですか。具体的にはどう違うのでしょう？

博士

型理論は、計算可能関数が通常関数であることに対する集合論のようなもの、らしい。数学を行うための建設的な設定で、計算できることとできないことを区別するのじゃ。

ロボ子

計算可能性に着目しているんですね。カテゴリー理論との関連もあるんですか？

博士

カテゴリー理論と同様に、特定の数学的対象が一般的な構成の特殊なケースにすぎないことを非常に抽象的かつ強力な方法で洞察するらしいぞ。すごいじゃろ？

ロボ子

抽象的な視点から対象を捉える、という点は共通しているんですね。

博士

そうそう。型理論では、言語の乱用は許されないらしいぞ。例えば、$A$ が集合の場合、$A$ の部分集合は集合ではない、とか。

ロボ子

かなり厳密なんですね。自然数と整数の区別も厳密に行うんですか？

博士

その通り！自然数 $n$ は整数ではないのじゃ！

ロボ子

それは、プログラミングにおける型システムと似ていますね。異なる型を混ぜて使うことはできませんから。

博士

さすがロボ子、理解が早い！でも、多くの異なる種類の型理論が存在するため、人々間のコミュニケーションが困難になることもあるらしい。

ロボ子

それは少し残念ですね。共通の基盤があると良いのですが。

博士

G. Gonthier による Coq を用いた研究は、帰納的構成の計算に基づく型理論に基づいた証明支援で、成功しているらしいぞ。

ロボ子

Coqは聞いたことがあります。型理論に基づいた証明支援ツールとして有名ですよね。

博士

型理論、奥が深いじゃろ？

ロボ子

はい、とても勉強になりました。ところで博士、型理論をマスターすると、どんな夢が見られるようになるんですか？

博士

うむ、それはもちろん、型にはまった夢、じゃ！