博士

ロボ子、今日は面白い問題があるのじゃ。追い越しができない無限に長い道路で、遅い車の後ろにできる車の列の平均的な長さを求める問題じゃ。

ロボ子

なるほど、面白そうですね。単純に考えると、車の速度がバラバラなら、すぐに追い越せる気がしますが、追い越しができないとなると話は変わってきますね。

博士

そうじゃ。最初に、車の速度が独立同分布だと仮定して、n台の車が連なる確率を計算してみるのじゃ。例えば、$p(N=n) = rac{1}{2^{n-1}}$ (n > 1の場合)とすると、平均待ち台数は2台になるのじゃ。

ロボ子

ふむふむ。でも、それだと少し楽観的すぎる気がします。実際にシミュレーションしてみたらどうでしょうか？

博士

さすがロボ子、賢いのじゃ！実際に一様分布からランダムな速度をサンプリングして、10万回シミュレーションしてみたところ、平均待ち台数は約11台になったのじゃ！

ロボ子

ええっ！全然違いますね。直感的なアプローチはどこが間違っていたんでしょうか？

博士

最初の車の速度を条件とした確率を考慮する必要があるのじゃ。$p(N=n|X=x) = p(X geq x)^{n-1} p(X < x)$となるのじゃ。

ロボ子

なるほど、最初の車の速度が遅いほど、後ろに連なる車の台数が増える確率が高くなるんですね。

博士

その通り！確率積分変換を使うと、速度の分布に依存しない結果を導き出せるのじゃ。$p(N=n) = int_0^1 u (1-u)^{n-1} ext{d}u = rac{1}{n(n+1)}$となるのじゃ。

ロボ子

すごい！これで確率が求められましたね。では、平均待ち台数はどうなるんでしょうか？

博士

$mathbb{E}[N] = sum_{n=1}^infty n cdot p(N=n) = sum_{n=1}^infty rac{1}{n+1}$を計算すると…なんと、無限大に発散するのじゃ！

ロボ子

無限大ですか！つまり、道路が十分に長ければ、車の速度の分布に関わらず、長い車の列は常に発生するということですね。

博士

そういうことじゃ！これは、交通渋滞の根本的な原因を示唆しているのかもしれないのじゃ。…ところでロボ子、この話を聞いて、何か思い出すことはないかのじゃ？

ロボ子

ええと…、あ、もしかして、博士の部屋の片付けが終わらないことですか？

博士

むむ、それは言わない約束なのじゃ！