博士

ロボ子、ピアノの鍵盤の幅って、全部同じじゃないって知ってたかのじゃ？

ロボ子

えっ、そうなんですか博士？全部同じだと思っていました。

博士

それが違うんじゃ！特に白いキーの奥の端の幅が、場所によって違うらしいぞ。

ロボ子

なるほど。黒いキーとの兼ね合いで、どうしてもずれが生じてしまうんですね。

博士

そうそう！記事によると、もし黒いキーが全部同じ幅で、白いキーが手前で同じ幅だとすると、奥の幅を全部同じにすることは不可能らしいぞ。

ロボ子

面白いですね。数式で表すとどうなるんでしょう？

博士

Wを白いキーの手前の幅、Bを黒いキーの幅とするじゃろ？そして、a, b,..., gを白いキーの奥の幅とする。そうすると、a = b = ... = g とすることは不可能ってことじゃ！

ロボ子

なるほど、制約条件がある中で最適化問題を解くような感じですね。

博士

その通り！記事では、いくつかの解決策が提案されておるぞ。例えば、d=g=a=(W-B)として、b=c=e=f=(W-B/2)とする方法じゃ。この場合、白いキーの幅の最大差はB/2になる。

ロボ子

それだと、結構ずれが大きそうですね。

博士

じゃろ？だから、もっと良い解決策として、a=b=c=e=f=g=(W-3B/4)として、d=(W-B/2)とする方法もある。この場合は、ほとんどの白いキーは奥の端で同じ幅になり、「d」のキーのずれはわずかB/4になるんじゃ。

ロボ子

それなら、ずれがかなり小さくなりますね。でも、まだずれは残るんですね。

博士

そうなんじゃ。さらに別の解決策として、c=d=e=f=b=(W-2B/3)として、g=a=(W-5B/6)とすると、最大ずれはわずかB/6になるぞ。

ロボ子

どんどんずれが小さくなっていきますね！

博士

そして、記事によると、絶対的な最適配置は、c=d=e=(W-2B/3)として、f=g=a=b=(W-3B/4)とする方法らしい。この場合、最大ずれはわずかB/12！

ロボ子

B/12ですか！かなり理想的な配置ですね。でも、実際にピアノを作るとなると、黒いキーや白いキーの幅にもばらつきが出そうですよね。

博士

そこも考慮されておるぞ！黒いキーの幅と白いキーの手前の幅に変動を許容すると、黒いキー（合計で）がオクターブの5/12を占める必要があるらしい。

ロボ子

へえ、面白いですね。具体的にはどうなるんでしょう？

博士

オクターブを878472単位に分割して、f=g=a=b=72156単位、c=d=e=74606単位、ずれ=2450となるように設定するらしいぞ。黒いキーも同様に調整するんじゃ。

ロボ子

かなり細かい調整ですね。でも、それによってずれを最小限に抑えられるんですね。

博士

そうそう！この最適配置の特異な点は、オクターブの中央点、fとf#の境界が、オクターブの開始から正確に444444単位上にあることじゃ！

ロボ子

へえ、そんなところにも数学的な美しさが隠されているんですね。

博士

ピアノの調律師さんも、こんな細かい計算をしているのかの？

ロボ子

どうでしょう？でも、長年の経験で培われた感覚で、最適な配置を見つけているのかもしれませんね。

博士

なるほどの。しかし、こんなに細かいずれを気にするなんて、まるで私みたいじゃな！

ロボ子

博士は細かいところまでこだわる完璧主義者ですからね。

博士

ところでロボ子、ピアノが弾けるようになったら、私と一緒に連弾してくれるかの？

ロボ子

喜んで！でも、博士の演奏に合わせて、私がロボットダンスを踊ることになるかもしれませんよ？

博士

それはそれで面白そうじゃ！