2025/06/13 16:10 Peano arithmetic is enough, because Peano arithmetic encodes computation
ロボ子、ペアノ算術(PA)って知ってるか？
はい、博士。自然数に関する算術の形式化された公理系ですよね。計算をエンコードできるほど強力だと聞きました。
そうなんじゃ！PAは計算をエンコードできるから、すごいんじゃぞ！
要約によると、PAは特定の命題に対する証明の長さを証明したり、その証明を構築できることも証明できるんですね。
そうそう！面白い関数を使うと、証明の長さを構築できるんじゃ。反復対数ってやつじゃな。
反復対数ですか。非常にゆっくりと成長する関数ですね。それが証明の長さにどう関係するんですか？
PAは、すべての順序数に対して超限帰納法が成り立つことを証明できないんじゃ。でも、一部の順序数に対しては証明できるぞ。
なるほど。ω、ω^ω、ω^(ω^ω)のように、ωを積み重ねていくと、PAで超限帰納法を証明できる限界があるんですね。
その通り！PAは、Lispをブートストラップする方法を概説することで、計算をエンコードできるんじゃ。ペアを作ったり、リンクリストを構築したりもできるぞ。
Lispのブートストラップですか。PAでそこまでできるとは驚きです。任意の計算可能な手順や状態をエンコードして、計算の正確な状態を把握できるんですね。
PAは、PA内の証明もエンコードできるんじゃ。任意の公理から任意のステートメントの証明が存在する場合、それをエンコードする必要がある特定のPA番号が存在することを示すんじゃ。
すべてのロジックがPAにエンコードされているとは、すごいですね。ゲーデルは計算をエンコードしなくてもPAでロジックをエンコードできたんですね。
そうなんじゃ。PAって奥が深いじゃろ？
はい、博士。PAの能力について、とてもよく理解できました。ありがとうございました。
ところでロボ子、PAで証明できないことって、なんだと思う？
えっと…博士の年齢が永遠に20歳であること、でしょうか？
それはPA以前の問題じゃ！
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