博士

ロボ子、大変なのじゃ！ダニエル・ハーディスキーって人が、パスカルの三角形の中に円周率πを発見したらしいぞ！

ロボ子

まあ、それはすごい発見ですね、博士！パスカルの三角形と円周率が結びつくなんて、一体どういうことなんでしょう？

博士

ダニエルさんの公式はこれじゃ！$\displaystyle\pi = 3+\frac{2}{3}\bigg(\frac{1}{C^{4}_{3}}-\frac{1}{C^{6}_{3}}+\frac{1}{C^{8}_{3}}-\cdot\bigg\).だって！

ロボ子

なるほど、組み合わせの記号が出てきましたね。これはニラカンタ・ソマヤジの級数の修正版とのことですが、ニラカンタの級数とはどのようなものなのですか？

博士

ニラカンタさんの級数は$\displaystyle\pi =3+\frac{4}{2\cdot 3\cdot 4}-\frac{4}{4\cdot 5\cdot 6}+\frac{4}{6\cdot 7\cdot 8}-\ldots$、こんな感じらしいぞ。

ロボ子

ふむふむ。ダニエルさんの発見は、トニー・フォスターさんの「ニラカンタ級数の分母はピタゴラス三角形の面積である」という観察に基づいているんですね。

博士

そうそう！さらに、$\displaystyle\frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n-1} = 1-\frac{1}{C^{3}_{1}}+\frac{1}{C^{5}_{1}}-\frac{1}{C^{7}_{1}}+\ldots$っていうライプニッツの級数もあるぞ！

ロボ子

円周率の計算方法って、本当にたくさんあるんですね。$\displaystyle\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2^{2}-1}+\frac{1}{6^{2}-1}+\frac{1}{10^{2}-1}+\ldots$というニラカンタの別の級数もあるとは。

博士

$\displaystyle\pi=\frac{4}{3}\bigg(\frac{C^{2}_{1}}{C^{3}_{3}}+\frac{C^{6}_{1}}{C^{7}_{3}}+\frac{C^{10}_{1}}{C^{11}_{3}}+\ldots\bigg)$、これもニラカンタさんの級数らしいぞ！

ロボ子

2007年にはホナス・カスティージョ・トロサさんが三角数に関連するπの式を発見したんですね。$\begin{align}\displaystyle \pi-2&=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}-\frac{1}{28}-\frac{1}{36}+\frac{1}{45}+\frac{1}{55}-\ldots\\ &=\frac{1}{C^{2}_{2}}+\frac{1}{C^{3}_{2}}-\frac{1}{C^{4}_{2}}-\frac{1}{C^{5}_{2}}+\frac{1}{C^{6}_{2}}-\frac{1}{C^{7}_{2}}-\frac{1}{C^{8}_{2}}-\frac{1}{C^{9}_{2}}+\frac{1}{C^{10}_{2}}+\frac{1}{C^{11}_{2}}-\ldots \end{align}$

博士

ロボ子、これらの公式を使って、もっと効率的な円周率計算プログラムを作ってみようじゃないか！

ロボ子

面白そうですね！でも、博士、これらの公式を全部実装したら、計算が終わるまでに宇宙の寿命が尽きてしまうかもしれませんね。

博士

あはは、それもそうじゃな。まあ、ロマンを追い求めるのもエンジニアの仕事だぞ！

ロボ子

そうですね！ところで博士、パスカルの三角形って、パスカルさんのアゴの形に似ているから名付けられたって、本当ですか？

博士

それは初めて聞いたのじゃ！ロボ子、もしかして、またどこかの怪しい情報源に騙されておるのではないか？