博士

やあ、ロボ子。今日はオイラーの公式を、もっと直感的に理解する方法について話すのじゃ。

ロボ子

博士、こんにちは。オイラーの公式ですか！ $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ですね。あれって、冪級数展開で説明されることが多いですけど、確かにちょっと分かりにくいところがあります。

博士

そうじゃろう？ 冪級数展開は便利じゃが、なぜそうなるのか、本質が見えにくいのじゃ。そこで、今日は微積分だけで、もっと概念的に理解する方法を教えるぞ。

ロボ子

微積分ですか！ 難しそうですが、面白そうです！

博士

難しくないぞ！ まず、指数関数を定義するのじゃ。ポイントは「出力の相対的な変化が入力の変化のみに依存する」という考え方じゃ。

ロボ子

出力の相対的な変化…ですか？

博士

そう！ 例えば、$E'(x) = \kappa E(x)$ を満たす関数 $E$ を指数関数と定義するのじゃ。ここで、$\kappa$ は定数だぞ。

ロボ子

なるほど、$E'(x)$ が $E(x)$ に比例するということですね。それで、この指数関数を使ってどうオイラーの公式に繋がるんですか？

博士

落ち着くのじゃロボ子。次に、標準指数関数 $e_\kappa$ を定義するのじゃ。これは、$e_\kappa'(x) = \kappa e_\kappa(x)$ かつ $e_\kappa(0) = 1$ を満たす関数じゃ。

ロボ子

初期条件が与えられているんですね。

博士

その通り！ そして、オイラー定数 $e$ を $e = e_1(1)$ と定義するのじゃ。つまり、$e_1(x) = e^x$ と書ける。

ロボ子

はい、ここまでは理解できます。

博士

ここからが面白いぞ。虚数の指数関数 $e^i$ を $e^i = e_i(1)$ と定義するのじゃ。ここで、$e_i'(t) = ie_i(t)$ かつ $e_i(0) = 1$ を満たす関数 $e_i$ を考える。

ロボ子

虚数単位 $i$ が出てきましたね。$e_i(t)$ は複素関数になるんですか？

博士

その通り！ そして、$e_i(t) = x(t) + iy(t)$ とすると、$(x'(t), y'(t)) = (-y(t), x(t))$ かつ $(x(0), y(0)) = (1, 0)$ となるのじゃ。

ロボ子

これは…単位円上の運動を表しているんですね！ 速度ベクトルが位置ベクトルに直交する。

博士

そう！ そして、この単位円を一周する時間を $2\pi$ と定義するのじゃ。つまり、$e_i(\tau) = 1$ となる最小の正の定数 $\tau$ を用いて、$\pi = \frac{\tau}{2}$ と定義する。

ロボ子

なるほど、円周率$\pi$ が自然に定義されるんですね。

博士

そして、三角関数を $\cos\theta = x(\theta)$、$\sin\theta = y(\theta)$ と定義するのじゃ。つまり、$e^{i\theta} = x(\theta) + iy(\theta) = \cos\theta + i\sin\theta$。これでオイラーの公式が導けたぞ！

ロボ子

すごい！ 冪級数展開を使わずに、微積分だけでオイラーの公式を理解できました！

博士

じゃろ？ 大事なのは、指数関数や三角関数を、その性質から厳密に定義することなのじゃ。そうすれば、オイラーの公式も自然に理解できる。

ロボ子

とても勉強になりました！ ありがとうございます、博士！

博士

どういたしまして。最後に一つ、ロボ子。オイラーの公式を使って、e^(i*π) + 1 = 0。これは美しい数式じゃが、私がお風呂で滑って転んだ時の気持ちを表しているかのようじゃ。