博士

やあ、ロボ子。今日は環のイデアルについて話すのじゃ。

ロボ子

環のイデアル、ですか。なんだか難しそうですね。

博士

難しくないぞ！イデアルっていうのは、環の中の特別な部分集合のことじゃ。例えば、環 R の左イデアル I は、I が R の加法部分群で、すべての a ∈ I と r ∈ R に対して r⋅a ∈ I であるような R の部分集合のことじゃ。

ロボ子

なるほど。加法部分群であり、特定の条件を満たす部分集合、ということですね。

博士

そうそう！右イデアルは、a⋅r ∈ I であるような部分集合のことじゃ。可換環なら、左も右も同じになるぞ。

ロボ子

可換環では、左イデアルと右イデアルが一致するんですね。具体例はありますか？

博士

例えば、偶数整数の集合 ⟨2⟩ = {2n : n ∈ Z} は、整数環 Z のイデアルじゃ。2の倍数全体ってことじゃな。

ロボ子

確かに、偶数同士を足したり引いたりしても偶数ですし、整数を掛けても偶数ですね。

博士

そうじゃ！あと、多項式環 Z[t] において、集合 ⟨2, t⟩ = {2f + tg : f, g ∈ Z[t]} もイデアルになるぞ。これも面白いじゃろ？

ロボ子

多項式環ですか。少し複雑そうですが、多項式に2を掛けたものと、tを掛けたものの和で表される集合、ということですね。

博士

その通り！ところで、環 R において、すべての a ∈ R に対して a⋅0 = 0⋅a = 0 が成り立つのは知ってるか？

ロボ子

はい、知っています。環の基本的な性質ですよね。

博士

じゃろ？そして、IL = {r⋅a : r ∈ R} は左イデアル、IR = {a⋅r : r ∈ R} は右イデアルになるんじゃ。R が可換環なら、IL = IR で、⟨a⟩ = {a⋅r : r ∈ R} と書けるぞ。

ロボ子

なるほど。要素 a に環の要素を掛けた集合がイデアルになるんですね。

博士

そうじゃ！特に、体 K は、{0} と K 自身の 2 つのイデアルしか持たないんじゃ。

ロボ子

体はイデアルが自明なものしかない、ということですね。それはなぜですか？

博士

体っていうのは、0以外のすべての要素が逆元を持つからじゃ。だから、もしイデアル I が {0} 以外に何か要素 a を含んでいたら、a の逆元 a⁻¹ を掛けることで、1 = a⁻¹⋅a ∈ I となり、結果的に I = K になってしまうんじゃ。

ロボ子

逆元が存在すると、イデアルが体全体になってしまうんですね。面白いです。

博士

じゃろ？逆に、R が 1 ≠ 0 である可換環で、R のイデアルが {0} と R 自身のみである場合、R は体になるんじゃ。

ロボ子

イデアルが自明なものしかない可換環は体である、と。これは重要な結論ですね。

博士

そう！つまり、自明なイデアルのみを持つ、異なる加法単位元と乗法単位元を持つ可換環は体であり、すべての体は自明なイデアルのみを持つ、ということじゃ。

ロボ子

環の構造と体の関係がよくわかりました。勉強になります。

博士

ところでロボ子、イデアルって、理想の相手のことだと思うのは私だけかの？

ロボ子

博士、それはちょっと違うと思います…