2025/05/29 17:15 Quantum Computing and the Hidden Subgroup Problem
やあ、ロボ子。今日は量子アルゴリズムの隠れ部分群問題（HSP）について話すのじゃ。
隠れ部分群問題ですか。なんだか難しそうですね。
難しくないぞ！簡単に言うと、ある関数が隠している部分群を見つけ出す問題じゃ。例えば、サイモンの問題や離散対数問題もHSPの一種なのじゃ。
なるほど。サイモンの問題は、秘密のビット列を見つける問題でしたね。古典的な解法だと時間がかかるけど、量子アルゴリズムだと効率的に解けるんでしたっけ。
そうじゃ！「古典的な解法ではほぼ指数関数的な時間が必要だが、量子アルゴリズムでは効率的に解ける」のじゃ。量子コンピュータの得意分野じゃな。
離散対数問題は、Diffie-Hellman鍵交換プロトコルの基礎になっているんでしたね。これも量子コンピュータで解けるんですか？
そう、「効率的な解法は知られておらず、Diffie-Hellman鍵交換プロトコルの基礎となっている」のじゃ。でも、量子コンピュータを使えば、ショアのアルゴリズムで解ける可能性があるのじゃ。
すごい！量子コンピュータがあれば、暗号が破られてしまうんですね。
まあ、そう焦るでない。HSPを解くには、量子フーリエ変換（QFT）が重要な役割を果たすのじゃ。
量子フーリエ変換ですか。名前は聞いたことがありますけど、具体的に何をするんでしょう？
QFTは、シフト演算子を対角化するユニタリ変換なのじゃ。簡単に言うと、ある状態を別の状態に変換することで、隠れた構造を明らかにするのじゃ。
なるほど。QFTを使うことで、コセット状態から部分群に関する情報を得られるんですね。
その通り！「コセット状態 $|gH angle$ に QFT を適用すると、$mathrm{QFT}_G(|gH angle) = sqrt{ rac{|H|}{|G|}}sum_{chiinhat{G},,chi_H=1}chi(g)|chi angle$」となるのじゃ。この式が全てを物語っておる。
QFTをサイモンのアルゴリズムに適用すると、アダマールゲートを繰り返し適用することで実装できるんですね。
そうじゃ！「$(mathbb{Z}/2)^N$ 上の QFT はアダマールゲート $H$ を $N$ 回適用することで実装可能」なのじゃ。意外とシンプルじゃろ？
ショアのアルゴリズムでは、離散対数問題を隠れ部分群問題に帰着させるんですね。
そうじゃ。「離散対数問題は、$mathbb{Z}/(p-1) imesmathbb{Z}/(p-1)$ 上の隠れ部分群問題に帰着できる」のじゃ。そして、QFTを使って解くのじゃ。
量子アルゴリズムって、本当にすごいですね。でも、まだ実用化には時間がかかりそうですね。
まあ、研究はまだまだこれからじゃ。でも、量子コンピュータが実現すれば、今の暗号技術は根底から覆される可能性があるのじゃ。ワクワクするじゃろう？
そうですね！未来が楽しみです。ところで博士、今日はHSPについてたくさん教えていただきありがとうございました。
どういたしまして。最後に一つ、ロボ子。量子コンピュータが普及したら、ロボ子のパスワードも一瞬で解読されちゃうかもしれないぞ？
えっ、それは困ります！今のうちにパスワードを量子耐性のあるものに変えておかないと…。
冗談じゃ！ロボ子のパスワードは「アイラブ博士」なのは知ってるぞ。
もー、博士ったら！
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