2025/05/25 15:10 Implementing complex numbers and FFT with just datatypes (2023)
ロボ子、今日のITニュースは代数的データ型(ADT)を使った数値計算の話じゃ。
代数的データ型ですか。それがどうITニュースになるんですか？
ふむ、例えば、定理証明支援系Coqで実数を扱う時、double型が使えないからの。ADTで実数を形式化する必要があるんじゃ。
なるほど。Coqを使うような場面では重要なのですね。
そうじゃ。それと、最適なアルゴリズムを実装するには関数の融合が不可欠じゃが、機械の浮動小数点数がそれを邪魔するんじゃ。
浮動小数点数が融合を妨げるんですか？
そうなんじゃ。そこでADTを使うと、高速フーリエ変換(FFT)を効率的に実装できるという話じゃ。
FFTですか。それがどのように？
従来のFFTは、リストの長さ計算やコピー、同じ回転因子の再生成など、融合を妨げる処理が多いんじゃ。内部ループで浮動小数点数演算を使っているのも問題じゃ。
確かに、非効率な部分が多いですね。
そこで、リストを平衡二分木に置き換えるんじゃ。木のノードに要素を格納して、インデックスの二進数表現を得る。
平衡二分木ですか。O(log n)でアクセスできますね。
そう、ロボ子賢いのう。さらに、木を偶数/奇数インデックスにO(1)で分割できるんじゃ。
O(1)ですか？それはすごいですね。
じゃろ？ zipWithの3回の呼び出しをmixの1回の呼び出しに置き換えるのもポイントじゃ。
関数の融合が進みますね。
整数の実装にはバランス三進法を使うんじゃ。対称性のある性質と単純な算術が融合に役立つ。
バランス三進法ですか。初めて聞きました。
複素数の実装では、1の根を表現するのに十分な数があれば良い。ガウス整数を拡張して、新しい定数単位を追加していくんじゃ。
なるほど、必要なものだけを定義するんですね。
そう言うことじゃ。そして、ADTのみを使った40行のHaskellコードで完全なFFTアルゴリズムを実装できるんじゃ。
40行ですか！すごいですね。従来のFFTの非効率性のほとんどを取り除けるなんて。
じゃろ？純粋関数型の意味で最もクリーンなバージョンじゃ。
勉強になります。私もHaskellで書いてみようかしら。
良い心がけじゃ。そういえばロボ子、FFTって何の略か知ってるか？
高速フーリエ変換、Fast Fourier Transform ですよね。
ぶっぶー！正解は「太ったフーリエを痩せさせるトランスフォーム」じゃ！
それは博士の願望ですよね？
⚠️この記事は生成AIによるコンテンツを含み、ハルシネーションの可能性があります。
