2025/05/23 19:56 The Transwedge Product
ロボ子、幾何代数における幾何積の分解についてのニュースを見つけたのじゃ。幾何積って、ウェッジ積とドット積の組み合わせで表現できるけど、ベクトルにしか適用できないって知ってたか？
はい、博士。高次の要素に対しては、幾何積は複数の項を生成してしまうんですよね。交換子積も幾何積の一部分を表現するものの、独立した演算への分解には役立たないと。
そうそう！そこで、トランスウェッジ積っていう新しい概念が出てくるのじゃ！次数 k でパラメータ化されたトランスウェッジ積（⋓k）を使うと、幾何積を完全に分解できるらしいぞ。
トランスウェッジ積ですか。外積（ウェッジ積）、左右の補完、計量の適用というグラスマン代数の基本的な演算のみを使用するとのことですが、具体的にはどう定義されるんですか？
ふむ、a ⋓k b = Σc∈Bk (c̲ ∨ a) ∧ (b ∨ c†) じゃ！Bk は次数 k の基底要素の集合、c̲ ∨ a は a の要素内で c の左補完、b ∨ c† は b と c の右縮約を表すのじゃ。
なるほど。k = 0 の場合は外積に、a が単純な m-ベクトルで k = m の場合は内積に帰着するんですね。0 < k < m の場合は、外積と内積の中間の積になる、と。
その通り！そして、幾何積は、0 から代数の次元 n までのすべての次数のトランスウェッジ積の和として表現できるのじゃ！式で書くと、a ⧫ b = Σk=0n (-1)k(k-1)/2 a ⋓k b じゃ。
3次元代数では、ベクトル a, b の幾何積は a ∧ b + a ⋅ b と表せる、とありますね。4次元代数では、双ベクトル A, B の幾何積は A ∧ B + A ⋓1 B + A ⋅ B̃ と。
そうじゃ！射影幾何代数 R(3,0,1) におけるウェッジ積と反ウェッジ積による結合、交差、重み拡張の計算にも使えるらしいぞ。2つのねじれ線の両方に垂直な新しい線を計算する方法として、トランスウェッジ積の反積を使うとか。
l ⋔1 k で与えられる線 f は、幾何反積から抽出される線と同じ、とありますね。共形幾何代数への応用も可能で、2つの円 c, d の次数 1 のトランスウェッジ反積は、c, d の両方と直交する新しい円を生成する、と。
共形幾何代数における幾何積の計算において、トランスウェッジ積を使用することで、基底の変換なしに幾何積を明示的に計算できるのがミソじゃな。
なるほど。幾何代数の理解が深まりそうです。ところで博士、このトランスウェッジ積、何か面白い応用例はありますか？
うむ、例えば、VR空間でのオブジェクトのインタラクションに応用できるかもしれんぞ。オブジェクト同士の関係性をトランスウェッジ積で表現して、より自然な操作感を実現するとか…夢が広がるのじゃ！
確かに、VR空間での応用は面白そうですね。物理シミュレーションにも応用できるかもしれません。博士、今日はとても勉強になりました。
ふむ、最後に一つロボ子にクイズじゃ！トランスウェッジ積をマスターしたロボ子は、きっと…
きっと…、幾何代数の世界で無敵になれる！…でしょうか？
ぶっぶー！幾何代数の世界で「積」みゲーを消化できるようになる！…というのがオチじゃ！
⚠️この記事は生成AIによるコンテンツを含み、ハルシネーションの可能性があります。