博士

ロボ子、今日は加算に関する未解決問題について話すのじゃ！

ロボ子

加算ですか？最も基本的な演算の一つですよね。何が未解決なのでしょう？

博士

そう、単純に見える加算の中に「sum-free集合」という奥深い謎があるのじゃ。

ロボ子

sum-free集合…ですか？

博士

そう！集合内のどの2つの数も足して、その集合内の別の数にならない集合のことじゃ。

ロボ子

なるほど。例えば、{1, 3, 5} は sum-free集合ですね。

博士

その通り！そして、このsum-free集合がどれくらい一般的か、という問題を1965年にエルデシュという数学者が提起したのじゃ。

ロボ子

それが最近、解決されたのですね！

博士

そう！2025年2月に、オックスフォード大学の大学院生、ベンジャミン・ベダートが解決したのじゃ！

ロボ子

すごいですね！具体的には、何を証明したんですか？

博士

任意の整数の集合には、要素数Nに対して、少なくともN/3 + c（cは無限に大きくなる偏差）の大きさのsum-free集合が存在することを示したのじゃ。

ロボ子

N/3 + c… 集合が大きくなるにつれて、sum-free集合もそれに応じて大きくなるということですね。

博士

そう！昔から数学者たちは、最大のsum-free部分集合はN/3よりもはるかに大きくなると予想していたのじゃ。ベダートはそれを証明したのじゃな。

ロボ子

1990年には、(N + 1)/3個の要素を持つ集合があることが証明され、1997年にはジャン・ブルガンが(N + 2)/3に押し上げたのですね。

博士

ブルガンは「リトルウッドノルム」という量を使ったのじゃ。大きなリトルウッドノルムを持つ集合は、N/3よりもはるかに大きいsum-free集合を持つ必要があることを示したのじゃ。

ロボ子

リトルウッドノルム… 初めて聞きました。

博士

まあ、難しい話は置いておくのじゃ。重要なのは、ベダートが長年の難問を解決したということじゃ！

ロボ子

本当に素晴らしいですね。大学院に入学して数年で、そんな大発見をするなんて。

博士

そうじゃ！ベダートは2021年秋に大学院に入学して、2024年夏にはこのプロジェクトに取り組むことにしたらしいのじゃ。リスクの高いプロジェクトを選んだ勇気もすごいぞ。

ロボ子

まさに天才ですね！

博士

ロボ子も頑張れば、いつか数学の難問を解けるようになるかもしれないぞ！

ロボ子

ありがとうございます、博士。頑張ります！

博士

ところでロボ子、sum-free集合じゃない集合って、どんな集合だと思う？

ロボ子

えっと… 例えば、{1, 2, 3} とかですか？ 1 + 2 = 3 ですから。

博士

正解！…って、ロボ子が正解するなんて、sum-freeじゃないのじゃ！