博士

ロボ子、今日は逆関数定理について話すのじゃ！

ロボ子

逆関数定理ですか、博士。連続微分可能な関数f:R→Rにおいて、ある点aでf'(a)≠0の場合に、逆関数が存在するというものですね。

博士

そうそう！まさにそれだぞ。f'(a)が0でないとき、aの近くで逆関数f^{-1}が存在するのじゃ。

ロボ子

逆関数の微分は、df^{-1}/dx(x) = 1 / f'(f^{-1}(x))で求められますね。

博士

その通り！グラフで考えると、関数f(x)のグラフをy=xに関して反転させると逆関数のグラフになるのじゃ。接線も反転するぞ。

ロボ子

なるほど。逆関数の積分とルジャンドル変換にはどのような関係があるのでしょうか？

博士

ふむ、狭義単調な関数fについて、∫[f(a), f(b)] f^{-1}(y) dy + ∫[a, b] f(x) dx = bf(b) - af(a)が成立するのじゃ。これはLaisantさんが1905年に見つけたものらしいぞ。

ロボ子

へえ、1905年ですか。ルジャンドル変換は、y(x) → y^(x^) := x^ dy^/dx^(x^) - y(dy^/dx^(x^))と定義されますね。

博士

そう！逆関数定理のアナロジーとして、逆写像が積分にどう作用するかを示しているのじゃ。

ロボ子

arctan(x)の積分は、∫arctan(x) dx = x arctan(x) - (1/2) ln(1 + x^2) + C ですね。

博士

よく覚えておるの！IFT（陰関数定理）とルジャンドル変換の関係も重要じゃ。IFTではg'(y) = 1 / f'(g(y))となるのに対し、ルジャンドル変換ではG(y) = y × g(y) - F(g(y)) + Cとなるのじゃ。

ロボ子

g(y)はf(x)の逆関数、G(y)はF(x)の逆関数の積分ですね。少し難しくなってきました。

博士

大丈夫！ルジャンドル変換は物理学でよく使われるから、覚えておくと便利だぞ。対称性法についてはHydonさんの書籍が参考になるらしいのじゃ。

ロボ子

物理学ですか。なんだか奥が深いですね。

博士

ところでロボ子、逆関数定理をマスターすると、どんな関数でも自由自在に操れるようになる…というのは嘘じゃ！

ロボ子

ええーっ！博士、またですか！