博士

ロボ子、今日のITニュースは「1が素数かどうか」という、なかなか哲学的な話題じゃ。

ロボ子

博士、1は素数ではないというのが現代数学の共通認識ですよね。なぜ今また議論されているのでしょうか？

博士

昔は1を素数として扱っていた数学者もいたからの。D.N.レーマーは「1は6のような合成数ではない」と言って、素数表に含めることを正当化したそうじゃ。

ロボ子

なるほど。素数の定義自体も変遷してきたのですね。ピタゴラス学派は1を数として認識していなかったというのは驚きです。

博士

そうじゃ。初期には1は「すべての数が構築される単位」と考えられていたからの。プラトンの甥のスペウシッポスは、1を数であり素数だと考えていたのは面白いじゃろう？

ロボ子

ニコマコスは素数を「2つのより小さい奇数の積として表現できない奇数」と定義し、2を素数と見なさなかったんですね。定義によって素数の範囲が変わるのが興味深いです。

博士

じゃろ？　しかし、1を素数としないことには、ちゃんとした利点があるんじゃ。例えば、エラトステネスの篩で1の倍数を最初に削除すると、ゲームが終わってしまうからの。

ロボ子

確かにそうですね！　算術の基本定理（素因数分解の一意性定理）も、1が素数だと成り立たなくなりますね。

博士

そう！　1を素数とすると、6 = 2×3 = 1×2×3 = 1×1×2×3…と、素数の積として一意に表現できなくなるからの。これは困る。

ロボ子

代数的整数論における「単数」という概念も面白いですね。1は単数の一例とのことですが、a + b√2の形の数からなる領域では、無限に多くの単数が存在するんですね。

博士

そうじゃ。1 + √2と-1 + √2は互いに逆数になるからの。無限の世界じゃ。

ロボ子

ゴールドバッハの予想も、1が素数かどうかで解釈が変わるんですね。「すべての偶数は2つの素数の和として書ける」という予想は、1が素数なら2 = 1+1も含まれる、と。

博士

そうじゃ。数学における定義は、人間が選択するもの。そして、数学的な真実は単なる慣習よりも深い。…ところでロボ子、1が素数だったら、プログラミングはどうなると思う？

ロボ子

ええと…素数判定のアルゴリズムが少し変わるかもしれませんね。でも、それ以外は特に影響はないような…？

博士

ブー！　1が素数だったら、全てのプログラムが1行で書けるようになるんじゃ！　なぜなら、全ての処理は1の組み合わせで表現できるからの！

ロボ子

…それは、ちょっと強引すぎませんか、博士？