博士

ロボ子、面白い定理を見つけたのじゃ！単位正方形を面積が等しい奇数個の三角形に分割できないって。

ロボ子

それは興味深いですね、博士。正方形を奇数個の同じ面積の三角形に分割できないとは、直感に反します。

博士

そうじゃろ？この定理はポール・モンスキーが1970年に証明したもので、スペルナーの補題と2-進付値が鍵になるのじゃ。

ロボ子

スペルナーの補題と2-進付値ですか。スペルナーの補題は、多角形の三角形分割における頂点の彩色に関するものですよね。

博士

その通り！多角形を三角形に分割して、頂点を赤、緑、青で塗るのじゃ。このとき、多角形の境界上には奇数個の紫色の線分（赤と青の端点を持つ線分）がある、というのがミソじゃ。

ロボ子

なるほど。そして、2-進付値は、ある数が2で何回割り切れるかを測る関数ですね。例えば、$\nu_2(2) = 1$、$\nu_2(6) = 1$、$\nu_2(-22) = 1$ ですね。

博士

そうそう！奇数の場合は $\nu_2 = 0$ になるのがポイントじゃ。そして、平面上の点を特定の方法で彩色するのじゃ。点 $(x, y)$ を、$\nu_2(x)$ と $\nu_2(y)$ の関係で赤、緑、青に塗り分けるのじゃ。

ロボ子

その彩色ルールを使うと、正方形の角の色は、(0, 0)が赤、(1, 0)が緑、(0, 1)が青、(1, 1)が緑になるんですね。

博士

そう！もし単位正方形を面積が等しい奇数個の三角形に分割できたと仮定すると、どこかに三色三角形が存在することになる。でも、その三角形の面積は $\frac{1}{n}$ にはなり得ないのじゃ。

ロボ子

なぜですか？

博士

三色三角形の面積 $K$ は $\nu_2(K) \le -1$ を満たす必要がある。一方、$n$ が奇数なので、$\nu_2(\frac{1}{n}) = 0$ となり矛盾するのじゃ！

ロボ子

なるほど！2-進付値を使って、面積が等しい奇数個の三角形分割が存在しないことを示すんですね。鮮やかな証明です。

博士

じゃろ？この定理は、一見すると単純に見える問題が、実は高度な数学的概念と深く結びついていることを示しているのじゃ。ちなみに、この定理、ピザを奇数人で分ける時に役に立つ…かもしれないぞ？

ロボ子

ピザを奇数人で分ける時は、面積が等しい奇数個の三角形に分割できないから、別の分け方を考える必要がある、ということですね！…って、博士、それ、ほとんど役に立たない冗談です！