博士

ロボ子、今日のニュースは正65537角形の話じゃぞ！

ロボ子

65537角形ですか！ずいぶんと辺が多いですね。どんな形をしているんですか？

博士

それがの、正65537角形は、すべての辺と角が等しい図形のことじゃ。辺の長さをtとすると、面積Aは A=65537/4 * t^2 * cot(π/65537) で表されるらしいぞ。

ロボ子

なるほど。ほとんど円に見えるんでしょうね。

博士

そうなんじゃ！外周は円周と視覚的に区別できないほどで、差は約15ppb（parts per billion）しかないらしいぞ。

ロボ子

15ppbですか！ほとんど同じですね。そんなに辺が多い図形に、何か意味があるんですか？

博士

意味はあるぞ！65537はフェルマー素数（2^n + 1の形）だから、正65537角形はコンパスと定規で作図できるんじゃ！

ロボ子

作図可能！それはすごいですね。でも、実際に作図するのは大変そう…

博士

それがの、カール・フリードリヒ・ガウスが1801年までに作図可能であることを示したらしい。でも、最初の具体的な作図はヨハン・グスタフ・ヘルメスが1894年に与えたんじゃ。

ロボ子

1894年！ずいぶんと時間がかかったんですね。ヘルメスさんの作図はどんなものだったんですか？

博士

それがまたすごいんじゃ！200ページに及ぶ手稿を10年かけて完成させたらしいぞ。別の方法では、最大1332個のカーライル円を使う方法もあるみたいじゃ。

ロボ子

気が遠くなりそうな作業ですね…。そんなに複雑な図形を作図できることの、何がすごいんですか？

博士

作図可能性は、数論や代数学と深く関わっているんじゃ。cos(π/65537) および cos(2π/65537) の値は、32768次の代数的数であり、平方根で表現できることが重要なんじゃ。

ロボ子

なるほど。数学的な性質が、作図可能性につながるんですね。

博士

そういうことじゃ！ちなみに、正65537角形は位数131074の二面体群を持ち、D65537で表されるんじゃ。対称性も面白いぞ。

ロボ子

対称性ですか。奥が深いですね。

博士

最後に、65537-グラムという星型多角形もあって、これは{65537/n}（2 ≤ n ≤ 32768）で生成される正の形式が32,767個も存在するんじゃ！

ロボ子

星型多角形もたくさんあるんですね！今日は65537角形について、色々なことを教えていただきありがとうございました。

博士

どういたしましてじゃ。しかし、65537角形を手書きで作図できる人がいたら、それはもう人間国宝ものじゃな！